[잡담] 2^48 - 1 의 약수중 50과 75 사이의 두수는?

2^48 - 1 의 약수중 50과 75 사이의 두 수는 무엇인가?

라는 문제가 있다. 이 문제는 아마도 a^2 - b^2 = (a+b)(a-b) 라는 성질을 이용해서

2^48-1 = (2^24+1)(2^12+1)(2^6+1)(2^6-1) 로 바꾸면,,

2^6+1 = 65 , 2^6-1 = 63 이니깐,, 63과 65라는 답을 구하도록 하는 문제 일 것이다..

그런데,, 정말 답이 저거 2개 뿐이냐?? 라고 반문한다면 상황은 복잡하게 된다..

결국,, 모든 약수를 다 구할 수 밖에 없고,, 이를 위해 가장 좋은 방법은 소인수 분해를 하는 것이다..

2^6-1 = 63 = 3^2*7
2^6+1 = 65 = 5*13
2^12+1 = 4097 = 17*241
2^24+1 = 16777217 = 97*257*673  이므로,,

2^48-1 = 3^2*5*7*13*17*97*241*257*673 이라는 소인수분해 결과가 나온다,..

이 소인수 분해를 바탕으로 약수들을 계산해 보면 51 = 3*17 이라는 약수도 튀어 나온다..

결국 51, 63, 65 라는 3개의 답이 나오게 된다..

문제의 출제 의도는 이해할 수 있으나,, 오류가 있는 문제인 셈이다..

- 이쁜왕자 -
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