[퀴즈] 실수를 두 집합으로 나누기.

유리수의 집합 Q 에는 조밀성(density of rationals) 이라는 특성이 있다.

서로 다른 두 유리수 a,b (a<b 로 가정)가 있을때, 적당한 유리수 q 가 존재하여 a < q < b 를 만족한다.

위 성질은 q = (a+b)/2 로 놓아서 간단히 해결할 수는 있지만, 엄밀한 증명은 아니다. 실수의 집합 R 역시 조밀성을 만족하며, 무리수의 집합 I 역시 만족한다.

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실수의 집합을 두개의 부분집합 X 와 Y 로 나누고 싶은데, 다음과 같은 조건을 만족하는 집합 X, Y 를 찾고 싶다.

1. X 와 Y 의 교집합은 공집합이고, X 와 Y의 합집합은 원래의 집합과 같다.

2. X 와 Y 는 서로 상호 조밀성을 만족한다.

상호 조밀성이란 말이 맞는지는 모르겠지만, 이 특성은 다음과 같이 정의한다.

집합 X 의 두 원소, x1, x2 (x1<x2 로 가정) 가 있을때, 적당한 원소 y ∈ Y 가 존재하여 x1 < y < x2 를 만족한다. 또한, 집합 Y 의 두 원소, y1, y2 (y1<y2 로 가정) 가 있을때, 적당한 원소 x ∈ X 가 존재하여 y1 < x < y2 를 만족한다.

이 조건을 만족하는 집합 X, Y 는 사실 간단하게 찾을 수 있다. X = Q {유리수}, Y = I {무리수} 로 놓으면, 위 두 성질을 만족한다. 여기에, 추가가 되는 제 3의 조건은 다음과 같다.

3. 집합 X, Y 는 둘다 가산집합이 아닌 비가산집합이다. 즉, X, Y 의 농도(cardinality)가 둘다 실수의 집합 R 과 같다.

문제1) 실수의 집합에 대해서, 위 3개의 조건을 만족하는 두 부분집합 X, Y 를 찾으시오. 

문제2) 무리수의 집합에 대해서, 위 3개의 조건을 만족하는 두 부분집합 X', Y' 를 찾으시오. 

문제3) 초월수의 집합에 대해서, 위 3개의 조건을 만족하는 두 부분집합 X'', Y'' 를 찾으시오.

문제4) 유리수의 집합에 대해서, 1,2번 조건을 만족하는 두 부분집합 X''', Y''' 를 찾으시오.

- 이쁜왕자 -

- Valken the SEXy THief~~ ^_* -

ps> 2002년도 모 비비에 끄적거린 문제.

     애기똥풀님의 가산집합 이야기를 보고 생각나서 블로그에 정리함.