행렬 문제.. A^3 = O 이면 A^2 = O 인가?

이차 정사각 행렬 A 에 대해서, A^3 = O 이면, A^2 = O 인가?

이 문제는 케일리-해밀턴 정리를 쓰면 어렵지 않게 참 임을 증명 할 수 있습니다.

A 가 역행렬이 존재한다고 가정하자.
A^3 = O 의 양변에 A^(-1) 을 두번씩 곱하면 A = O 이 된다.
그런데, A = O 이면 역행렬이 존재한다는 가정에 모순이 발생한다.
즉, A 는 역행렬이 존재 하지 않는다.

A = (a b) / (c d) 라고 놓고, A 는 역행렬이 존재하지 않으므로, ad-bc = 0 이다. 
케일리 헤밀턴 정리에 의해서 A^2 - (a+d)A + (ad-bc)E = O 이므로, A^2 = (a+d)A 가 된다. 
A^3 = O 에 위 식을 두번 대입하면 (a+d)^2·A = O 이 되며, 이는 a+d = 0 또는 A = O 이다.
두 경우 모두 (a+d)A = O 이 된다. 즉, A^2 = O 이다.

주1) 같은 방법으로 A^n = O (n>= 2) 이면 A^2 = O 임을 증명할 수 있다. 또한, 임의의 크기의 정사각 행렬에서도 위 조건을 만족한다.

주2) 오유의 수학자님의 풀이에서 발췌
http://todayhumor.co.kr/board/view.php?table=science&no=8932 

 
그런데, 케일리-해밀턴 정리를 사용하지 않고, 증명하는게 가능할까요?  
 
- 이쁜왕자 -
- Valken the SEXy THief~~ ^_* -