[퍼즐] 등대 문제

Q1. 등대 20개가 무한평면바다 위에 있고, 각 등대는 18도 만큼의 빛을 비추는 각도를 가진다.

이 때 임의의 등대 위치에 대해서 등대가 빛을 비추는 방향을 잘 조절하면, 바다 모든 곳에 빛이 닿게 할 수 있음을 보여라.

http://todayhumor.co.kr/board/view.php?table=science&no=12799 

오유에 RGB 님이 낸 문제 

사족 추가)

- 등대는 점으로 간주하며, 그림자는 무시한다.

- 등대의 빛의 도달하는 거리는 무한하다.

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18도*20 = 360도 이므로, 방향을 잘 맞추면 가능할 것으로 보인다.

문제의 이해를 쉽게 하기 위해서 문제를 극단적으로 간결화 시켜 보자.

Q2. 등대 2개가 있고, 각 등대는 180도를 비춘다.

간단히 등대가 서로 향해서 빛을 비추면 된다는 것을 유추해 낼 수 있다.

그런데 이게 4개의 등대로 확장되면, 난이도가 급 상승한다.
 

Q3. 등대 4개가 있고, 각 등대는 90도를 비춘다.

가장 심플하게 4개의 등대가 정사각형을 이루고 있다고 가정하면, 정사각형의 중심을 향해서 비추면 된다. 하지만, 정사각형이 아니라 직사각형으로 바꾸면, 무게중심을 향해 비추는 것으로는 해결되지 않는다.

어떤 등대가 비추는 각도 비추는 각도를 k도 라고 하면, 나머지 3개는 반드시 k+90도, k+180도, k+270도 여야 한다.

현재 더이상 진전 없음..

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대략 하얀까마귀옹의 아이디어를 정리하면..

정리1) 네 점이 서로 다른 사분면에 위치한다면, 모든 평면을 덮을 수 있다.

각 점은 각각 대각선 방향의 사분면을 모두 덮을수 있도록 비추면, 된다.
만약 두점 이상이 X축 또는 Y축에 위치한다면, 유리한 쪽을 선택한다.

따름정리2) 한점이 원점에 있고, 다른 세점이 서로 다른 사분면에 위치한다면, 모든 평면을 덮을 수 있다.
trivial

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4점 중에서 가장 멀리 떨어진 두 점 A,B을 선택하여 두 점을 지나는 직선AB를 그린다. 그러면, 다른 두 점 C,D 는 이 직선을 기준으로 같은 쪽에 있거나, 서로 다른쪽에 있게 된다.

* 서로 같은 쪽에 있는 경우

두 점 C,D 중에서 직선AB에 더 가까운 점을 선택하여, 이를 원점으로 하는 직교 좌표계를 구성한다. 단 X 축은 직선 AB 와 평행하도록 구성한다. 그러면, 한점은 원점에, 나머지 3점은 서로 다른 사분면에 위치하게 된다.

* 서로 다른쪽에 있는 경우..

두 점 C,D 중 아무거나 하나 선택해서 직선AB 에 수선의발을 내림. 그점을 원점으로 하는 직교 좌표계를 구성한다. 단, X축은 직선 AB.

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훨씬 더 쉬운 하얀까마귀옹의 방법.

* 점 4개가 볼록 사각형일때

두 대각선의 교점이든, 무게중심이든, 대충 그 내부의 한점을 원점으로 선택하여 4개의 점이 서로 다른 사분면에 위치하도록 직교좌표계 구성.

* 점 4개가 오목 사각형일때 (즉, 3점으로 만들어진 삼각형 내부에 한점이 위치할때)

내부의 한점을 원점으로 하면, 간단히 세점을 서로 다른 사분면에 위치하는 직교 좌표계를 만들수 있음.


ps> 그런데 이 방법을 6개, 8개,, 또는 20개등 더 큰 수로 확장을 어떻게 해야 할지 모르겠음. 

ps2> 홀수의 경우는 2k 의 경우인 짝수일때 해결되면, 점2개를 각각 겹치는 방법으로 간단히 증명 가능.

- 이쁜왕자 -