유리수와 무리수

문제1) 임의의 서로 다른 두 무리수 a < b 가 존재하여,
         a < c < b를 만족하는 유리수 c가 반드시 존재하는가? 

너무나 당연해 보이지만, 막상 증명해 보려면 으음? 하고 고개가 갸우뚱했던 문제이죠.

두 수 a, b 를 각각 십진 소수 전개를 하면, 두 수는 서로 다르므로, 자리값이 다른 자리수가 반드시 나옵니다.

예를 들어
a = 0.12345678812....
b = 0.12345678912....
라고 할때, c 를 다음과 같이 정의 합니다.

c : "b 에서 a 와 서로 다른 자리값이 나온 곳에서 자른 수"

위의 예제에서는 c = 0.123456789
 
c 는 유한소수 이므로 당연히 유리수입니다.
또한 당연하게 a < c < b 입니다.

문제 2) 임의의 서로 다른 두 유리수 a' < b' 가 존재하여, 
          a' < c' < b'를 만족하는 무리수 c' 가 반드시 존재하는가? 

이것 역시 너무나 당연한데, 증명 하려면 역시나 갸우뚱했던 문제입니다.

적당한 무리수를 하나 선택합니다. e 도 좋고, √2 도 좋고, π 도 좋습니다. 어쨓든 하나만 있으면 됩니다.

정리1) 임의의 무리수 x 와 0이 아닌 유리수 y 가 존재할 때, 이 두 수를 사칙연산을 수행하면, 그 수는 무리수 이다. (증명 생략)
 
누구나 다 아는 무리수를 하나 선택합니다. 여기서는 π를 선택하도록 하죠. 이제, 0 과 1 사이에 속하도록 π 를 적당히 변형합니다. π/10 도 좋고, π-3 도 상관 없습니다. 여기서는 π-3 을 선택합니다. 위의 정리에 의해서 π-3 역시 무리수입니다.

이제 c' 를 다음과 같이 정의 합니다.

c' = a' + (b' - a') * (π - 3 ) 

a' < b' 이고, 0 < (π-3) < 1  이므로,  a' < c' < b' 임은 자명합니다.
또한, a',b',3 이 모두 유리수이고 π 만 무리수이므로, 위 정리에 의해서 c' 역시 무리수입니다.

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위의 증명들은 수학적으로 엄밀한 증명은 아니지만, 대략적인 개념을 이해하는기에는 충분할 것입니다.
 
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