automorphic number

5 를 제곱하면 25 인데, 5로 끝난다. 25를 제곱하면 625 인데 25로 끝난다. 625를 제곱하면 390625 인데 625 로 끝난다. ... 8212890625를 제곱해도, 8212890625 로 끝난다.

이렇게 어떤 수 n 을 제곱했는데, 제곱수의 마지막이 n 으로 끝나는 수를 automorphic number 라고 부른다고 한다. 1자리수 기준으로 이것이 성립하는 수는 0, 1, 5, 6 이렇게 4가지 이다. 그리고, 이것들은 자리수를 계속 늘여도 이 조건이 성립한다.

일단 0 과  1 을 보면

• 000...000 은 그냥 0 이고 제곱해도 0 = (000...000) 이다.
• 000...001 은 그냥 1 이고 제곱해도 1 = (000...001) 이다.

수 앞에 0 을 붙이는 것이 허용된다고 할때, 임의의 길이 만큼 늘릴 수 있다.

 

그리고, 5와 6의 경우 15자리 까지 수를 찾아 보면 아래와 같다.

• 259918212890625
• 740081787109376

 

이 수의 뒷부분의 임의의 자리수 만큼 떼어서 제곱해도 성립된다.

• 90625 * 90625 = 8212890625
• 890625 * 890625 = 793212890625

다만, 이 수들 중에는 0625 , 09376 같은 것도 등장하기에 앞에 0 을 붙이는 것도 허용할 필요가 있고, 그래서 00000 이나 00001 같은 경우도 허용된다.

 

이건 10진수가 아닌 다른 진수에서도 성립 가능하다.

이 수는 원하는 길이 만큼 늘일 수 있다. (아마도?)

 

• 관련 문서

en.wikipedia.org/wiki/Automorphic_number

oeis.org/A018247

oeis.org/A018248

oeis.org/A003226/a003226.pdf